2025年考研数学第一题预测如下：
【题目】
设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求函数 \( f(x) \) 的极值点，并分析其单调性。
【解答】
首先，求函数 \( f(x) \) 的一阶导数：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x-1)(x-3) = 0 \]
因此，\( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
接下来，求函数 \( f(x) \) 的二阶导数：
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
代入 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \)：
\[ f''(1) = 6(1) - 12 = -6 \]
\[ f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \]
由于 \( f''(1) < 0 \)，故 \( x = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极大值点；
由于 \( f''(3) > 0 \)，故 \( x = 3 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
最后，分析函数的单调性：
当 \( x < 1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；
当 \( 1 < x < 3 \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；
当 \( x > 3 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
【考研刷题通】小程序，助你高效备战考研！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，随时随地提升解题能力。立即下载，开启你的考研刷题之旅！【考研刷题通】——你的考研备考好帮手！