在2024年考研数学中，第四题是一道充满挑战的题目。假设题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的最大值和最小值。
解答：
首先，对函数 \( f(x) \) 求导得到：
\[ f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得：
\[ \sin x + \cos x = 0 \]
\[ \tan x = -1 \]
\[ x = \frac{3\pi}{4} \]
接下来，分析 \( f'(x) \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的符号：
- 当 \( 0 < x < \frac{3\pi}{4} \) 时，\( \sin x + \cos x > 0 \)，所以 \( f'(x) > 0 \)，函数在此区间上单调递增。
- 当 \( \frac{3\pi}{4} < x < \pi \) 时，\( \sin x + \cos x < 0 \)，所以 \( f'(x) < 0 \)，函数在此区间上单调递减。
因此，\( f(x) \) 在 \( x = \frac{3\pi}{4} \) 处取得局部最大值。
计算 \( f(x) \) 在端点和临界点的值：
\[ f(0) = e^0 \sin 0 = 0 \]
\[ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = e^{\frac{3\pi}{4}} \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{3\pi}{4}} \]
\[ f(\pi) = e^\pi \sin \pi = 0 \]
综上，\( f(x) \) 在区间 \([0, \pi]\) 上的最大值为 \( \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{3\pi}{4}} \)，最小值为 0。
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