在高等数学领域，证明题是考研数学考试中的一大难点。以下是一个原创的证明题解答示例：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，证明：若 \( f'(x) \) 在 \( x=1 \) 处连续，则 \( f'(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导。
解答：
首先，计算 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
由题意，\( f'(x) \) 在 \( x=1 \) 处连续，因此：
\[ \lim_{x \to 1} f'(x) = f'(1) \]
\[ \lim_{x \to 1} (3x^2 - 3) = 3(1)^2 - 3 = 0 \]
所以 \( f'(1) = 0 \)。
接下来，我们需要证明 \( f'(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导。根据导数的定义，有：
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(1+h) - f'(1)}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{3(1+h)^2 - 3 - 0}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{3(1 + 2h + h^2) - 3}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{3 + 6h + 3h^2 - 3}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} \frac{6h + 3h^2}{h} \]
\[ = \lim_{h \to 0} (6 + 3h) \]
\[ = 6 \]
因此，\( f'(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，且 \( f'(1) = 6 \)。
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