在25考研数学的考场上，一道令人谈之色变的网红题悄然出现，它不仅考验了考生的计算能力，更考验了他们的逻辑思维。这道题以“极限与导数的巧妙结合”为核心，要求考生在有限的时间内，不仅准确计算出结果，还要清晰阐述解题思路。以下是这道题的详细解析：
题目：已知函数\( f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} \)，求\( f'(1) \)。
解题思路：首先，我们需要确定函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处的极限值。通过分析极限表达式，我们可以看出，当\( n \)趋于无穷大时，\( \frac{x^n}{n!} \)将趋于0，除非\( x = 1 \)。因此，\( f(1) = 0 \)。
接下来，我们需要求\( f'(1) \)，即函数在\( x = 1 \)处的导数。由于\( f(x) \)是一个幂指函数，我们可以通过链式法则和乘积法则来求导。
\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} \right) \)
由于极限是一个常数，我们可以将其移出导数符号：
\( f'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{d}{dx} \left( \frac{x^n}{n!} \right) \)
对\( \frac{x^n}{n!} \)求导，我们得到：
\( f'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{nx^{n-1}}{n!} \)
简化后：
\( f'(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \)
再次观察，当\( n \)趋于无穷大时，\( x^{n-1} \)将趋于0，除非\( x = 1 \)。因此，\( f'(1) = 0 \)。
综上所述，\( f'(1) \)的值为0。
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