高等数学考研试题解析：
1. 题目：求函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$在$x=0$处的极限。
解析：首先，我们要注意到当$x$趋近于0时，$x^2-1$趋近于-1，因此原函数的极限不存在。但我们可以利用洛必达法则来求解这个极限。对分子分母同时求导，得到：
$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2-1}=\lim_{x\to 0}\frac{0}{2x}=\lim_{x\to 0}0=0.$$
因此，函数$f(x)$在$x=0$处的极限为0。
2. 题目：计算定积分$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$。
解析：这是一个利用分部积分法求解的题目。首先，我们设$u=x$，$dv=\sin x\,dx$，那么$du=dx$，$v=-\cos x$。根据分部积分法，我们有：
$$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx = -x\cos x\big|_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx = -\pi\cos\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx.$$
由于$\cos\pi=-1$，所以上式可以进一步化简为：
$$-\pi\cos\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx = \pi + \sin x\big|_0^\pi = \pi - \sin\pi + \sin 0 = \pi.$$
因此，定积分$\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$的值为$\pi$。
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