题目：已知圆的方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)，直线 \(y = mx + c\) 与圆相切，求 \(m\) 和 \(c\) 的值。
解答：
1. 由于直线与圆相切，根据切线与半径垂直的性质，圆心到直线的距离等于圆的半径。
2. 圆心坐标为 \((0,0)\)，半径 \(r = 2\)。
3. 圆心到直线 \(y = mx + c\) 的距离公式为 \(\frac{|0 \cdot m + 0 \cdot 1 - c|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 将半径 \(r = 2\) 代入上述公式，得到 \(\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\)。
5. 解得 \(c^2 = 4(m^2 + 1)\)。
6. 因为直线与圆相切，所以 \(m\) 和 \(c\) 有无数组解，满足 \(c^2 = 4(m^2 + 1)\)。
例如，取 \(m = 0\)，则 \(c^2 = 4\)，解得 \(c = \pm 2\)。此时，直线方程为 \(y = 2\) 或 \(y = -2\)，均与圆相切。
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