2017年数学二真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. A
7. D
8. B
9. A
10. C
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $e^x$
13. $\frac{1}{2}$
14. $x^2$
15. $\ln x$
三、解答题
16. 解：$f'(x) = 2x + 3$，$f''(x) = 2$。由泰勒公式得
$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = 0 + 3x + x^2 + o(x^2) = x^2 + 3x + o(x^2).
$$
17. 解：$f(x) = \int_0^x t^2 e^t dt$，$f'(x) = x^2 e^x$。由拉格朗日中值定理得
$$
f(x) - f(0) = f'(\xi)x = \xi^2 e^\xi x,
$$
其中$\xi$介于0和x之间。令$x \to 0$，得
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \xi^2 e^\xi = 0.
$$
18. 解：$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$，$f'(x) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2}$。由洛必达法则得
$$
\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2}}{1} = \frac{1}{2}.
$$
19. 解：$f(x) = x^2 - 2x + 1$，$f'(x) = 2x - 2$，$f''(x) = 2$。由二阶导数判别法得
$$
f''(x) > 0 \text{ 对 } x \in (1, +\infty).
$$
20. 解：$f(x) = \sin x$，$f'(x) = \cos x$，$f''(x) = -\sin x$。由二阶导数判别法得
$$
f''(x) < 0 \text{ 对 } x \in (2k\pi, 2k\pi + \pi), k \in \mathbb{Z}.
$$
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，帮你轻松备战考研，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，提高分数。快来加入我们，一起备考吧！