在周洋鑫的考研数学辅导中，求解极限问题是一项至关重要的技能。以下是一道典型的极限求解题目：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - 3x}{x^2}$。
解题思路：首先，我们可以通过泰勒展开将 $\sin(3x)$ 在 $x=0$ 处展开，得到 $\sin(3x) \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6}$。然后，将展开式代入原极限中，简化后求解。
具体解答如下：
1. 将 $\sin(3x)$ 用泰勒展开：$\sin(3x) \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6}$。
2. 代入原极限：$\lim_{x \to 0} \frac{3x - \frac{(3x)^3}{6} - 3x}{x^2}$。
3. 简化表达式：$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{27x^3}{6}}{x^2}$。
4. 求极限：$\lim_{x \to 0} \frac{-9x^3}{6x^2} = \lim_{x \to 0} -\frac{3x}{2} = 0$。
因此，该极限的值为 $0$。
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