在2022年考研数学试卷中，第三题是一道综合性的问题，要求考生具备扎实的数学基础和解题技巧。以下是针对该题的原创解答：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求证：存在唯一的实数$\alpha$，使得$f'(\alpha) = 0$，且$f(\alpha) = 0$。
解答：
首先，求函数$f(x)$的导数：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.$$
接下来，我们需要找到$f'(\alpha) = 0$的解，即：
$$3\alpha^2 - 12\alpha + 9 = 0.$$
化简得：
$$\alpha^2 - 4\alpha + 3 = 0.$$
这是一个一元二次方程，通过求根公式或因式分解可得：
$$(\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0.$$
因此，$\alpha = 1$或$\alpha = 3$。
由于$f(x)$是一个三次多项式，其导数$f'(x)$是一个二次多项式，且开口向上（因为二次项系数为正），这意味着$f'(x)$在实数范围内有且只有一个零点。结合$f'(1) = 0$和$f'(3) = 0$，我们可以推断出$\alpha$只能取$1$或$3$。
接下来，我们验证$f(\alpha) = 0$：
当$\alpha = 1$时，$f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 \neq 0$；
当$\alpha = 3$时，$f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 1 \neq 0$。
由于$f(1)$和$f(3)$都不等于$0$，我们得出结论：不存在使得$f(\alpha) = 0$的$\alpha$。
因此，原命题不成立，即不存在这样的实数$\alpha$。
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