2021年考研数学一卷真题解析如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$在$x=2$处可导，则$f'(2)=\frac{1}{3}$。
2. 设$a>0$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{x^2}=a$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$，则$AB^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$。
4. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=2$。
5. 设$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
二、填空题
6. 设$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$。
7. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$。
8. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f''(x)=6x-3$。
三、解答题
9. 求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}$。
解：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos\frac{3x}{2}}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3}{2}\cdot\frac{\cos\frac{3x}{2}}{x}=\frac{3}{2}\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
10. 求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值。
解：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=-1$。
当$x< -1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；
当$-1< x< 1$时，$f'(x)< 0$，$f(x)$单调递减；
当$x>1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。
所以$f(x)$在$x=-1$处取得极大值$f(-1)=4$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=-2$。
【考研刷题通】微信考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备考，高效刷题！立即关注，开启你的考研之旅！