浙江数学分析考研真题是一道极具挑战性的题目，它不仅考察了考生对数学分析知识的掌握程度，还考验了考生的逻辑思维和解决实际问题的能力。以下是对这道题目的原创解答：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求证：对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，有 \( f(x) \leq \frac{1}{2} \)。
解答：
首先，我们观察到函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 时取得最大值 \( f(0) = \frac{1}{2} \)。接下来，我们考虑函数 \( f(x) \) 的性质。
由于 \( 1+x^2 \) 在 \( x \in \mathbb{R} \) 上是单调递增的，因此 \( \frac{1}{1+x^2} \) 是单调递减的。这意味着对于任意 \( x \neq 0 \)，都有 \( f(x) < f(0) = \frac{1}{2} \)。
当 \( x \) 趋向于正无穷或负无穷时，\( 1+x^2 \) 也趋向于正无穷，从而 \( \frac{1}{1+x^2} \) 趋向于 0。因此，对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( 0 \leq f(x) \leq \frac{1}{2} \)。
综上所述，我们证明了对于任意 \( x \in \mathbb{R} \)，都有 \( f(x) \leq \frac{1}{2} \)。
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