在计算机考研数学的征途上，挑战拔高题是检验你实力的关键。深入剖析历年真题，巧妙运用高等数学、线性代数和概率论与数理统计的精髓，才能在激烈的竞争中脱颖而出。以下是一道经典的拔高题，旨在激发你的潜能：
题目：设矩阵A为3×3矩阵，满足$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$，求矩阵A的特征值。
解析：首先，我们观察矩阵$A^2$，发现其主对角线元素均为1，其余元素依次增加1。这提示我们，矩阵A可能是一个初等矩阵。通过观察，我们可以构造出矩阵A：
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
接下来，我们求A的特征值。首先计算特征多项式：
$\det(\lambda I - A) = \det\begin{bmatrix} \lambda & -1 & 0 \\ -1 & \lambda & -1 \\ 0 & -1 & \lambda \end{bmatrix} = (\lambda - 1)^2(\lambda - 3)$
解得特征值为$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 3$。
综上，矩阵A的特征值为1，1，3。
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