在探索数学分析的奥秘中，级数问题是考研数学中不可或缺的一环。以下是一道典型的数学分析级数考研题：
题目：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，其中 $a_n = \frac{1}{n^2}$。证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 也收敛。
解答：由题意知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $a_n = \frac{1}{n^2}$。根据级数收敛的必要条件，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的通项 $a_n$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时，必须趋于0。即 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$。
接下来，我们要证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 也收敛。根据级数收敛的必要条件，我们需要证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{n} = 0$。
由于 $a_n = \frac{1}{n^2}$，我们有 $\frac{a_n}{n} = \frac{1}{n^3}$。显然，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n^3} \rightarrow 0$。
因此，根据级数收敛的必要条件，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 也收敛。
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