在考研数学中，泰勒展开式是一个重要的知识点。以下是一道关于泰勒展开式的真题示例：
题目：已知函数 \( f(x) = e^x \)，求其在点 \( x_0 = 0 \) 处的三阶泰勒展开式。
解答：首先，我们需要求出 \( f(x) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的各阶导数。
1. 一阶导数：\( f'(x) = e^x \)，则 \( f'(0) = e^0 = 1 \)。
2. 二阶导数：\( f''(x) = e^x \)，则 \( f''(0) = e^0 = 1 \)。
3. 三阶导数：\( f'''(x) = e^x \)，则 \( f'''(0) = e^0 = 1 \)。
根据泰勒展开式的公式，\( f(x) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的三阶泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 \]
代入已求得的导数值，得：
\[ f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \]
所以，\( f(x) = e^x \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的三阶泰勒展开式为 \( 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)。
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