考研数学模拟题训练题目

题目：已知函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x}{x^2-2x+1}$，求$f(x)$的极值。

解答过程：

1. 首先对$f(x)$求导，得到$f'(x)$。
$$f'(x)=\frac{(3x^2-6x+4)(x^2-2x+1)-(x^3-3x^2+4x)(2x-2)}{(x^2-2x+1)^2}$$

2. 然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$，$x=\frac{2}{3}$。

3. 接下来分析$f'(x)$的符号，当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$；当$\frac{2}{3}1$时，$f'(x)>0$。

4. 由此可知，$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点。

5. 计算$f\left(\frac{2}{3}\right)$和$f(1)$的值，得到$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{9}$，$f(1)=2$。

因此，$f(x)$的极大值为$\frac{20}{9}$，极小值为$2$。

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