在2018年数学一考研中，考生们经历了充满挑战的数学考试。以下是对该考试部分题目的原创答案：
1. 求函数 \( f(x) = e^x - x^2 \) 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。
答案：通过对函数求导得 \( f'(x) = e^x - 2x \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = \ln 2 \)。计算 \( f(0) = 1 \)，\( f(\ln 2) = 2 - \ln^2 2 \)，\( f(2) = e^2 - 4 \)。因此，最大值为 \( e^2 - 4 \)，最小值为 \( 2 - \ln^2 2 \)。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：计算 \( \det(\lambda E - A) = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0 \)，得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 5 \)。对应特征向量分别为 \( k_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)，其中 \( k_1, k_2 \) 为非零常数。
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