在考研数学分析的考试中，一道典型的题目可能如下：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的泰勒展开式到三阶项。
解答过程：
首先，计算 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的各阶导数值：
\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
\[ f''(x) = 6x \]
\[ f'''(x) = 6 \]
代入 \( x = 1 \) 得：
\[ f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \]
\[ f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0 \]
\[ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 \]
\[ f'''(1) = 6 \]
根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的泰勒展开式到三阶项为：
\[ f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 \]
\[ f(x) \approx 0 + 0(x-1) + \frac{6}{2}(x-1)^2 + \frac{6}{6}(x-1)^3 \]
\[ f(x) \approx 3(x-1)^2 + (x-1)^3 \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的泰勒展开式到三阶项为 \( 3(x-1)^2 + (x-1)^3 \)。
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