山东大学考研数学题历来以难度著称，其题型多样，覆盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大板块。以下是一道典型的山东大学考研数学题：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$在区间$[-1, 2]$上的最大值和最小值。
解答过程如下：
1. 求导数：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 求导数的零点：$3x^2 - 6x + 4 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
3. 求二阶导数：$f''(x) = 6x - 6$。
4. 检查二阶导数的符号：当$x < 1$时，$f''(x) < 0$；当$x > 1$时，$f''(x) > 0$。
5. 判断极值：$x = 1$为$f(x)$的极大值点，$x = \frac{2}{3}$为$f(x)$的极小值点。
6. 计算极值：$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3$，$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{27}$。
7. 比较端点值：$f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + 4 \times (-1) + 1 = -3$，$f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 \times 2 + 1 = 3$。
综上所述，$f(x)$在区间$[-1, 2]$上的最大值为3，最小值为-3。
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