考研数学二阶微分方程的通解，通常涉及求解形式为 \( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \) 的方程。这类方程的通解可以通过以下步骤获得：
1. 求解特征方程：首先，将微分方程转化为对应的特征方程 \( r^2 + pr + q = 0 \)。
2. 求解特征根：根据特征方程的判别式 \( \Delta = p^2 - 4q \) 的值，分为以下几种情况：
- 判别式大于0：有两个不相等的实根，通解为 \( y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \)，其中 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 为特征根。
- 判别式等于0：有一个重根，通解为 \( y = (C_1 + C_2 x) e^{rx} \)。
- 判别式小于0：有两个共轭复根 \( r_1 = \alpha + \beta i \) 和 \( r_2 = \alpha - \beta i \)，通解为 \( y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \)。
通过以上步骤，可以求得二阶微分方程的通解。
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