考研数学中矩阵计算公式及证明如下：
1. 矩阵乘法公式：
设 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个 \( n \times p \) 矩阵，那么 \( A \) 与 \( B \) 的乘积 \( C = AB \) 是一个 \( m \times p \) 矩阵，其中 \( C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \)。
证明：
矩阵乘法的证明基于线性映射的定义。设 \( f_A \) 和 \( f_B \) 分别是矩阵 \( A \) 和 \( B \) 对应的线性映射，那么 \( f_{AB} = f_A \circ f_B \)。根据线性映射的乘法，对于任意向量 \( x \)，有 \( (AB)x = A(Bx) = (f_A \circ f_B)(x) = f_A(f_B(x)) \)。因此，\( AB \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素 \( C_{ij} \) 是 \( f_A \) 在 \( f_B \) 的作用下的 \( j \) 维坐标。
2. 矩阵的转置：
设 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，那么 \( A \) 的转置 \( A^T \) 是一个 \( n \times m \) 矩阵，其中 \( (A^T)_{ij} = a_{ji} \)。
证明：
矩阵转置的证明可以通过定义来实现。对于 \( A \) 的任意列向量 \( \mathbf{a}_j \)，\( A^T \) 的第 \( j \) 列就是 \( \mathbf{a}_j \) 的转置，即 \( (A^T)_{j} = \mathbf{a}_j^T \)。因此，\( A^T \) 的元素 \( (A^T)_{ij} \) 就是 \( A \) 的第 \( j \) 列的第 \( i \) 个元素。
3. 矩阵的逆：
设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，如果存在一个 \( n \times n \) 矩阵 \( B \)，使得 \( AB = BA = I \)，那么 \( B \) 是 \( A \) 的逆矩阵，记为 \( A^{-1} \)。
证明：
矩阵逆的证明需要 \( A \) 是可逆的，即 \( A \) 的行列式不为零。根据克拉默法则，\( A^{-1} \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素 \( (A^{-1})_{ij} \) 可以通过 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 和行列式 \( \det(A) \) 计算得到，即 \( (A^{-1})_{ij} = \frac{1}{\det(A)} \) \( A^* \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素。
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