在深入解析考研数学二矩阵真题时，我们首先需要明确矩阵理论的核心概念。矩阵不仅是线性代数的基础，也是解决实际问题的重要工具。以下是对一道典型考研数学二矩阵真题的详细解析：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解析：
1. 求特征值：首先，我们需要求解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。通过计算，我们得到：
\[
\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = \det\left(\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix}\right) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解这个二次方程，我们得到特征值 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。
2. 求特征向量：对于每个特征值，我们需要找到对应的特征向量。以 \( \lambda_1 = -1 \) 为例，解线性方程组 \( (A + I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} 1-(-1) & 2 \\ 3 & 4-(-1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
简化后得到 \( \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)。解得特征向量 \( x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
同理，对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解线性方程组 \( (A - 2I)x = 0 \) 得到特征向量 \( x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
通过以上步骤，我们成功求出了矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
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