在探索经典数学分析的考研题时，我们往往会遇到诸如极限、导数、积分等核心概念的应用题。以下是一道典型的考研题示例：
题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解答：
首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。根据导数的定义和运算法则，我们有：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
将 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \) 代入上式，得到：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 4(x+h) - 1 - (x^3 - 3x^2 + 4x - 1)}{h} \]
化简后，得到：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 6xh - 6h^2 + 4h}{h} \]
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 6x - 6h + 4) \]
由于 \( h \) 趋近于 0，因此 \( 3xh \)、\( 3xh^2 \)、\( 6xh \) 和 \( 6h^2 \) 都会趋近于 0。所以，我们得到：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]
现在，我们要求 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的值，即：
\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是 1。
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