杨超数学考研填空题解答如下：
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$在$x=1$处取得极值，则该极值为______。
解答：首先求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。由于$f''(x) = 6x - 6$，当$x=1$时，$f''(1) = 0$，无法判断极值类型。当$x=\frac{2}{3}$时，$f''(\frac{2}{3}) = 0$，也无法判断极值类型。因此，需要进一步判断。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；当$x>\frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。因此，$x=\frac{2}{3}$是函数的极小值点，$f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} - \frac{4}{9} + \frac{8}{9} + 1 = \frac{25}{27}$。所以，该极值为$\frac{25}{27}$。
2. 设$a, b, c$为实数，若$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} \geq 2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$，则下列不等式中正确的是______。
解答：由柯西不等式得$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} \geq \sqrt{(1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2)} = \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)}$。因此，$\sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2)} \geq 2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$，即$3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 4(a^2 + b^2 + c^2)$，化简得$a^2 + b^2 + c^2 \leq 0$。由于$a, b, c$为实数，所以$a^2 + b^2 + c^2 \geq 0$，因此$a^2 + b^2 + c^2 = 0$，即$a = b = c = 0$。所以，正确的不等式是$a^2 + b^2 + c^2 = 0$。
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