在探讨考研数学分析求极限问题时，以下是一个典型的解题示例：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$。
解答过程：
1. 首先，观察分子 $\sin(x)$ 和分母 $x$，当 $x$ 趋近于0时，$\sin(x)$ 与 $x$ 的比值趋向于某个常数。
2. 根据三角函数的泰勒展开，$\sin(x)$ 可以近似表示为 $x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。
3. 将 $\sin(x)$ 的近似表达式代入极限中，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x}$。
4. 简化表达式，得到 $\lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4))$。
5. 当 $x$ 趋近于0时，$O(x^4)$ 趋向于0，因此极限值为1。
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