经过深入研究与不懈努力，以下是对12年考研数学2大题的原创最佳答案：
大题一：
解题思路：首先，观察函数的周期性，利用周期性简化积分计算。然后，采用换元积分法，将积分区间转化为标准区间。最后，运用分部积分法求解。
具体步骤如下：
1. 观察函数f(x)的周期性，得T=π。因此，原积分可转化为：
$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f(x + \frac{\pi}{2})] dx$$
2. 换元积分，令u = x + \frac{\pi}{2}，则du = dx。原积分转化为：
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f(x + \frac{\pi}{2})] dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du$$
3. 应用分部积分法，设v = f(u)，dw = du，则dv = f'(u) du，w = u。得：
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du = \left. uv \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u f'(u) du$$
4. 计算边界值和中间积分，得：
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du = \left. uv \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u f'(u) du = \frac{\pi}{2} f(\pi) - \frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2}) - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u f'(u) du$$
5. 继续运用分部积分法，设v = u，dw = f'(u) du，则dv = du，w = f(u)。得：
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u f'(u) du = \left. uf(u) \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du$$
6. 代入边界值，得：
$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} u f'(u) du = \left. uf(u) \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du = \pi f(\pi) - \frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2}) - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du$$
7. 整理得：
$$2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(u) du = \pi f(\pi) - \frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2})$$
8. 代入具体函数，得：
$$2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f(x + \frac{\pi}{2})] dx = \pi f(\pi) - \frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2})$$
9. 计算具体函数值，得：
$$2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \pi f(\pi) - \frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2}) = \pi \cdot 0 - \frac{\pi}{2} \cdot 1 = -\frac{\pi}{2}$$
大题二：
解题思路：首先，观察级数的收敛性，判断其是否为收敛级数。然后，利用级数展开和级数求和公式求解。
具体步骤如下：
1. 判断级数的收敛性，利用比值法，得：
$$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\right| = |x|$$
由于级数收敛当且仅当$|x| < 1$，故当$x \in (-1, 1)$时，级数收敛。
2. 利用级数展开，将级数展开为：
$$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$$
3. 利用级数求和公式，求级数的和：
$$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x}$$
4. 求导，得：
$$S'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = \frac{-1}{(1+x)^2}$$
5. 计算具体函数值，得：
$$S'(0) = \frac{-1}{(1+0)^2} = -1$$
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考研大题。快来加入我们，一起刷题，备战考研！