第三题：设函数 \( f(x) = e^x \sin x \)，求 \( f(x) \) 的三阶导数。
解答过程：
首先，我们知道 \( e^x \) 的任意阶导数依然是 \( e^x \)，而 \( \sin x \) 的一阶导数是 \( \cos x \)，二阶导数是 \( -\sin x \)，三阶导数是 \( -\cos x \)。
利用乘积规则，我们可以得到：
\[ f'(x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x \]
再求 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = (e^x \sin x + e^x \cos x)' = (e^x)' \sin x + (e^x) \cos x + (e^x \cos x)' \]
\[ f''(x) = e^x \sin x + e^x \cos x - e^x \sin x + e^x \sin x + e^x \cos x \]
\[ f''(x) = 2e^x \cos x \]
最后，求 \( f'''(x) \)：
\[ f'''(x) = (2e^x \cos x)' = (2e^x)' \cos x + 2e^x (\cos x)' \]
\[ f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x \]
所以，\( f(x) = e^x \sin x \) 的三阶导数为 \( 2e^x \cos x - 2e^x \sin x \)。
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