在数学分析的考研试题中，a卷往往以基础理论题和计算题为主，旨在考查考生对基本概念、定理的理解和应用能力。以下是一例：
题目： 设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在区间 \([-1,1]\) 上连续，求证：存在 \(\xi \in (-1,1)\)，使得 \( f'(\xi) = \frac{2}{\pi} \)。
解答思路：
1. 利用罗尔定理，首先证明 \( f(x) \) 在 \([-1,1]\) 上可导，且 \( f(-1) = f(1) \)。
2. 根据罗尔定理，存在 \(\eta \in (-1,1)\)，使得 \( f'(\eta) = 0 \)。
3. 利用拉格朗日中值定理，证明存在 \(\xi \in (\eta,1)\) 或 \(\xi \in (-1,\eta)\)，使得 \( f'(\xi) = \frac{2}{\pi} \)。
详细解答：
1. 函数 \( f(x) \) 在 \([-1,1]\) 上连续，且 \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \) 在 \([-1,1]\) 上可导，因此 \( f(x) \) 在 \([-1,1]\) 上可导。
2. \( f(-1) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2} \)，\( f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} \)，所以 \( f(-1) = f(1) \)。
3. 根据罗尔定理，存在 \(\eta \in (-1,1)\)，使得 \( f'(\eta) = 0 \)。
4. 由于 \( f'(x) \) 在 \((\eta,1)\) 和 \((-1,\eta)\) 上单调递减，且 \( f'(\eta) = 0 \)，所以存在 \(\xi \in (\eta,1)\) 或 \(\xi \in (-1,\eta)\)，使得 \( f'(\xi) = \frac{2}{\pi} \)。
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