在探索数学分析的深邃世界，面对考研试题a卷的挑战，每一位考生都需展现自己的数学思维和解决复杂问题的能力。以下是一份原创的数学分析考研试题a卷解析：
题目： 设函数 \( f(x) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)。证明：存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
解答：
1. 构造辅助函数： 令 \( F(x) = \ln(x) f(x) \)，其中 \( x \in [0,1] \)。
2. 计算边界值： \( F(0) = \ln(0) f(0) = 0 \)，\( F(1) = \ln(1) f(1) = 0 \)。
3. 应用罗尔定理： 由于 \( F(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续，在 \((0,1)\) 内可导，且 \( F(0) = F(1) \)，根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( F'(\xi) = 0 \)。
4. 计算导数： \( F'(x) = \frac{1}{x} f(x) + \ln(x) f'(x) \)。
5. 求解方程： 由 \( F'(\xi) = 0 \)，得 \( \frac{1}{\xi} f(\xi) + \ln(\xi) f'(\xi) = 0 \)，即 \( f'(\xi) = -\frac{f(\xi)}{\xi \ln(\xi)} \)。
6. 调整符号： 注意到 \( \ln(\xi) < 0 \) 在 \( (0,1) \) 内，因此 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
通过上述步骤，我们证明了存在 \( \xi \in (0,1) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{\xi} \)。
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