在深入研读考研数学14年真题的基础上，以下是对部分题目的答案解析：
1. 选择题：通过排除法，确定正确答案为D。
2. 填空题：利用公式和已知条件，得到答案为$\sqrt{2}$。
3. 解答题：
- 第一题：运用拉格朗日中值定理，求得导数，最终答案为$\frac{1}{2}$。
- 第二题：根据极限的性质，结合洛必达法则，计算得出答案为$e$。
- 第三题：通过构造函数，利用导数判断单调性，最终得出答案为$1$。
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