在解题过程中，首先需要识别出这是一个多元函数的极值问题。具体来说，题目要求我们在给定区域内寻找函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 + 2xy - 6x - 4y + 12 \) 的极值。以下是解题步骤：
1. 求偏导数：计算函数对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数，得到：
\[ f_x = 2x + 2y - 6 \]
\[ f_y = 2x + 2y - 4 \]
2. 求驻点：令偏导数等于零，解方程组：
\[ 2x + 2y - 6 = 0 \]
\[ 2x + 2y - 4 = 0 \]
解得 \( x = 1 \), \( y = 2 \)。
3. 二阶偏导数：计算二阶偏导数，得到：
\[ f_{xx} = 2 \]
\[ f_{yy} = 2 \]
\[ f_{xy} = 2 \]
4. Hessian 矩阵：构造 Hessian 矩阵并计算其行列式和迹：
\[ H = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \]
\[ \text{det}(H) = 2 \times 2 - 2 \times 2 = 0 \]
\[ \text{tr}(H) = 2 + 2 = 4 \]
5. 极值判断：由于 \( \text{det}(H) = 0 \)，说明在点 \( (1, 2) \) 处的极值性质无法通过 Hessian 矩阵直接判断。因此，需要结合实际函数图像或进一步分析确定。
综上所述，函数在点 \( (1, 2) \) 处可能存在极值。具体极值大小和性质需结合实际函数图像或进一步分析确定。
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