在备战考研数学的征途上，阶段性测试是检验学习成果的绝佳方式。以下是精心准备的考研数学阶段性测试题，涵盖基础概念、解题技巧和综合应用等多个方面，帮助你查漏补缺，稳步提升。
1. 已知函数$f(x) = \ln x + x^2 - 3x + 1$，求$f(x)$的极值点。
2. 设向量$\mathbf{a} = (2, -1, 3)$，向量$\mathbf{b} = (-1, 2, -1)$，求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$。
3. 计算定积分$\int_0^{\pi} (2\cos^2 x - 3\sin x \cos x) \, dx$。
4. 已知矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^{-1}$。
5. 解线性方程组$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 2 \\ -x + y + 2z = 0 \end{cases}$。
6. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
7. 已知函数$f(x) = e^x - x - 1$，证明：对于任意$x > 0$，都有$f(x) > 0$。
8. 求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 (x-2)^n}$的收敛域。
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