在众多考研数学题目中，有一道堪称“最难”的微积分题，其难度堪比“高斯消元法在求解线性方程组中的应用”。这道题不仅要求考生对微积分的基本概念有深刻理解，还需具备高超的解题技巧。具体题目如下：
设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求证：$f(x)$在$x=1$处取得极大值。
解析：首先求出$f(x)$的一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$，然后根据导数的正负性判断函数的单调性和极值点。具体步骤如下：
1. 求一阶导数：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$；
2. 求二阶导数：$f''(x) = 6x - 12$；
3. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$和$x = 3$；
4. 检查$f''(x)$在$x = 1$和$x = 3$处的正负性，发现$f''(1) < 0$，$f''(3) > 0$；
5. 根据二阶导数检验法，得出$f(x)$在$x = 1$处取得极大值。
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