在众多考研数学题目中，一道被誉为“最难微积分题”的题目如下：
题目：已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，其中$x \neq 0$，求$f(x)$在$x=0$处的极限。
解析：此题考查了极限的计算和洛必达法则的应用。首先，我们可以观察到当$x \to 0$时，$\frac{1}{x^2} \to \infty$，而$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$是有界函数，因此$f(x)$在$x=0$处为无穷小乘以有界函数，即$f(x)$在$x=0$处为无穷小。
接下来，我们使用洛必达法则来求解这个极限。由于$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$，我们需要对分子和分母同时求导。求导后得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x^{-3}}{-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}.$$
由于$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$在$x \to 0$时趋向于$\cos(0)=1$，因此原极限为$2$。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！小程序内包含政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你轻松备战考研！快来下载体验吧！