在解决考研数学问题时，关键在于深入理解题意，灵活运用数学知识和技巧。以下是一个解题过程的示例：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求函数 \( f(x) \) 在区间 \([1,3]\) 上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导：首先，对函数 \( f(x) \) 求一阶导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)。
2. 求驻点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。这两个点为函数 \( f(x) \) 的驻点。
3. 求二阶导数：对 \( f'(x) \) 求导，得到 \( f''(x) = 6x - 12 \)。
4. 检验驻点：将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 分别代入 \( f''(x) \)，得 \( f''(1) = -6 \) 和 \( f''(3) = 6 \)。由于 \( f''(1) < 0 \)，故 \( x = 1 \) 为局部极大值点；由于 \( f''(3) > 0 \)，故 \( x = 3 \) 为局部极小值点。
5. 求最大值和最小值：将驻点和区间端点代入 \( f(x) \)，得 \( f(1) = 4 \)，\( f(3) = 0 \)，\( f(1) = 4 \)，\( f(3) = 0 \)。因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \([1,3]\) 上的最大值为 4，最小值为 0。
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