在20考研数学一第四题中，考生需要解决的是一个涉及多元函数极限与偏导数的问题。题目如下：
已知函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)，求 \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)\)。
解题步骤如下：
1. 分析极限形式：观察函数形式，当 \( (x, y) \) 趋近于 \( (0, 0) \) 时，分子趋近于0，分母趋近于0，形成了“0/0”的不定式。
2. 使用极坐标变换：为了简化计算，可以尝试将 \( x = r\cos\theta \)，\( y = r\sin\theta \) 代入原函数，其中 \( r \) 是 \( (x, y) \) 到原点的距离，\( \theta \) 是 \( (x, y) \) 与 \( x \) 轴的夹角。
3. 代入并简化：代入后得到 \( f(r, \theta) = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta \)。
4. 计算极限：因为 \( \cos^2\theta \) 和 \( \sin\theta \) 在 \( \theta \) 的取值范围内是有界的，所以当 \( r \) 趋近于0时，\( r\cos^2\theta\sin\theta \) 也趋近于0。
5. 结论：因此，\(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0\)。
考研刷题，掌握各类题型是关键。现在，推荐一款高效的学习工具——【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松应对各类题目，提高解题效率。快来体验吧！【考研刷题通】——你的考研利器！