在经济学考研的数学题目中，我们常常会遇到各种类型的题目，如线性代数、概率论、统计学等。以下是一个线性代数的典型题目讲解：
题目：已知矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答过程：
1. 首先计算特征多项式，即 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \(I\) 为单位矩阵，\(\lambda\) 为特征值。
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{pmatrix} \]
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 3 \cdot 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 2 \]
2. 解特征多项式得到特征值：
\[ \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \]
\[ (\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 \]
\[ \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3 \]
3. 分别求出对应的特征向量：
对于 \(\lambda_1 = 2\)，解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \)：
\[ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = 2x_2 \)，可以取 \( x_2 = 1 \)，则 \( x_1 = 2 \)，所以特征向量 \( \alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
对于 \(\lambda_2 = 3\)，解方程组 \( (A - 3I)x = 0 \)：
\[ \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
得到特征向量 \( x_1 = -x_2 \)，可以取 \( x_2 = 1 \)，则 \( x_1 = -1 \)，所以特征向量 \( \alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
综上所述，矩阵 \(A\) 的特征值为 \(2\) 和 \(3\)，对应的特征向量分别为 \( \alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) 和 \( \alpha_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
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