题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导数：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 求导数的零点：令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{2}}{3}$。
3. 检查导数零点及端点处的函数值：$f(1)=2$，$f\left(\frac{2-\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{8-\sqrt{2}}{3}$，$f\left(\frac{2+\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{8+\sqrt{2}}{3}$，$f(2)=0$。
4. 比较上述函数值，得$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$\frac{8+\sqrt{2}}{3}$，最小值为$0$。
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