线性代数作为考研数学的重要组成部分，2020年的题目涵盖了矩阵的基本概念、行列式、向量组的线性相关性、线性方程组、特征值与特征向量等多个知识点。以下是一道具有代表性的2020年数学线性代数考研题：
题目：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答过程：
1. 计算特征多项式：\(p(\lambda) = \det(A - \lambda E) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix}\)。
2. 展开行列式，得到特征多项式：\(p(\lambda) = (\lambda - 1)^2(\lambda - 10)\)。
3. 解特征多项式得到特征值：\(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 10\)。
4. 对应特征值求特征向量：
- 当 \(\lambda_1 = \lambda_2 = 1\) 时，解方程组 \((A - E)x = 0\)，得到特征向量 \(\alpha_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)，\(\alpha_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
- 当 \(\lambda_3 = 10\) 时，解方程组 \((A - 10E)x = 0\)，得到特征向量 \(\alpha_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)。
综上，矩阵 \(A\) 的特征值为 \(1, 1, 10\)，对应的特征向量分别为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)。
【考研刷题通】——您的考研刷题小助手，覆盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备考，轻松应对考试！微信搜索“考研刷题通”，开启您的考研刷题之旅！