在解决831数学分析考研题目时，以下是一例原创的最佳答案：
题目：证明函数 \( f(x) = e^{-x^2} \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式至少到四阶项是正确的。
解答：
首先，我们计算 \( f(x) \) 及其各阶导数在 \( x = 0 \) 处的值。
1. \( f(x) = e^{-x^2} \)，则 \( f(0) = 1 \)。
2. 一阶导数 \( f'(x) = -2xe^{-x^2} \)，所以 \( f'(0) = 0 \)。
3. 二阶导数 \( f''(x) = (2 + 4x^2)e^{-x^2} \)，因此 \( f''(0) = 2 \)。
4. 三阶导数 \( f'''(x) = (8x + 4x^3)e^{-x^2} \)，所以 \( f'''(0) = 0 \)。
5. 四阶导数 \( f^{(4)}(x) = (16x^2 + 48x^4)e^{-x^2} \)，故 \( f^{(4)}(0) = 16 \)。
泰勒展开式的前四项为：
\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 \]
\[ f(x) \approx 1 + 0 + \frac{2}{2}x^2 + 0 + \frac{16}{24}x^4 \]
\[ f(x) \approx 1 + x^2 + \frac{2}{3}x^4 \]
由于 \( e^{-x^2} \) 的泰勒展开式至少到四阶项与 \( 1 + x^2 + \frac{2}{3}x^4 \) 一致，因此证明了在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式至少到四阶项是正确的。
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