在19年考研数学一的第16题中，考生需解决的是一个关于多元函数微分学的题目。题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = e^{x^2+y^2} \)，求在点 \( (1, 0) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) 的方向导数。
解答思路：首先计算函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 0) \) 的梯度 \( \nabla f \)，然后计算向量 \( \mathbf{v} \) 与梯度 \( \nabla f \) 的点积，得到沿该方向的方向导数。
具体计算步骤如下：
1. 计算梯度 \( \nabla f \)：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{x^2+y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2ye^{x^2+y^2}
\]
在点 \( (1, 0) \) 处，梯度 \( \nabla f = \begin{pmatrix} 2e \\ 0 \end{pmatrix} \)。
2. 计算方向导数：
\[
D_{\mathbf{v}}f(1, 0) = \nabla f \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2e \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2e
\]
因此，在点 \( (1, 0) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} \) 的方向导数为 \( 2e \)。
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