2019年考研数学三第三题是一道关于多元函数微分学的题目。题目要求求出函数 \( f(x,y) = e^{x+y} \) 在点 \( (1,2) \) 处的切平面方程。具体解题步骤如下：
1. 首先，计算函数 \( f(x,y) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} e^{x+y} = e^{x+y} \]
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} e^{x+y} = e^{x+y} \]
2. 然后，将点 \( (1,2) \) 代入偏导数中，得到：
\[ f_x(1,2) = e^{1+2} = e^3 \]
\[ f_y(1,2) = e^{1+2} = e^3 \]
3. 接着，根据切平面的定义，切平面方程为：
\[ z - f(1,2) = f_x(1,2)(x-1) + f_y(1,2)(y-2) \]
将 \( f(1,2) = e^{1+2} = e^3 \) 代入，得：
\[ z - e^3 = e^3(x-1) + e^3(y-2) \]
4. 最后，整理方程，得到切平面方程：
\[ z = e^3(x-1) + e^3(y-2) + e^3 \]
这就是2019年考研数学三第三题的解答。为了更好地准备考研，推荐使用微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备战考研！
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