北大数学系考研题目通常以深度与广度著称，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。以下是一些原创的考研题目示例：
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求函数的极值点及拐点，并分析其图形特征。
2. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，证明：若 \( A \) 可逆，则 \( A^{-1} \) 也是 \( n \) 阶可逆矩阵。
3. 已知随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，求 \( X \) 的方差。
4. 设 \( \mathbf{A} \) 为 \( m \times n \) 矩阵，\( \mathbf{B} \) 为 \( n \times p \) 矩阵，证明：矩阵 \( \mathbf{AB} \) 的秩不超过 \( \min(\text{rank}(\mathbf{A}), \text{rank}(\mathbf{B})) \)。
5. 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，已知向量 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (3, 1, 2) \)，求向量 \( \mathbf{a} \) 和 \( \mathbf{b} \) 的叉积。
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