在考研的数学考试中，观察力是一个至关重要的技能。以下是一道典型的考验观察力的数学题：
题目：给定函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \)，若函数在区间 \([0,3]\) 上至少有两个零点，求常数 \(a\) 的取值范围，使得 \( f(ax) \) 在区间 \([0,3a]\) 上也至少有两个零点。
解答思路：首先，观察原函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)，解得 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 为导数的零点，这意味着 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 是原函数的极值点。通过计算，可以确定 \( x = 1 \) 为局部极大值点，\( x = 3 \) 为局部极小值点。由于 \( f(0) = 1 \) 和 \( f(3) = 1 \)，且在 \( x = 1 \) 时 \( f(x) \) 从正变负，故 \( x = 1 \) 为一个零点。因此，\( f(x) \) 在区间 \([0,3]\) 上至少有一个零点。
为了使 \( f(ax) \) 在区间 \([0,3a]\) 上至少有两个零点，我们需要保证 \( ax \) 在 \([0,3]\) 内至少有一个零点，并且在 \( [0,3a] \) 内至少还有一个零点。这意味着 \( a \) 的取值需要使得 \( ax \) 的区间长度与原函数 \( f(x) \) 的区间长度成比例。
通过计算和逻辑推理，我们可以得出 \( a \) 的取值范围为 \( a \in \left(\frac{1}{3}, 1\right) \)。这样，\( f(ax) \) 在 \( [0,3a] \) 上将至少有两个零点。
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