考研数学一第21题2024：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值和最小值。
解答思路：
1. 求函数$f(x)$的导数$f'(x)$；
2. 求导数$f'(x)$的零点，即$f'(x)=0$的解；
3. 判断零点处的函数值，找出最大值和最小值。
解答过程：
1. 求导数：$f'(x)=3x^2-6x+4$；
2. 求导数零点：$3x^2-6x+4=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$；
3. 判断零点处的函数值：$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3$，$f\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)^3-3\times\left(\frac{2}{3}\right)^2+4\times\frac{2}{3}+1=\frac{13}{27}$；
4. 求区间端点处的函数值：$f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+4\times(-1)+1=-7$，$f(2)=2^3-3\times2^2+4\times2+1=3$；
5. 比较以上函数值，得到最大值为3，最小值为-7。
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