【每日一题】在函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 中，求 \( x \) 的值，使得 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 处取得极小值。
【解析】首先，我们需要求出函数的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
然后，令 \( f'(x) = 0 \) 求解 \( x \)：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x-1)(x-3) = 0 \]
所以 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
接下来，我们需要判断这两个点处的函数值。计算 \( f(1) \) 和 \( f(3) \)：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 1 \]
由于 \( f(3) < f(1) \)，且 \( x=3 \) 是 \( x^2 - 4x + 3 \) 的根，因此 \( x=3 \) 是 \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 处取得极小值的点。
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