在考研数学的最后一题中，考生面临的是一个高难度的综合性问题，要求他们将多元函数的极值理论、线性代数、概率论以及解析几何等多领域的知识巧妙融合。以下是该题的描述：
题目：设函数 \( f(x, y) = x^3y - 3x^2y^2 + 3xy^3 - y^4 \) 在区域 \( D: x^2 + y^2 \leq 4 \) 内。求点 \( (0,0) \) 关于 \( D \) 的对称点 \( A \)，使得函数 \( f \) 在 \( A \) 处取得极值。
解题步骤如下：
1. 求对称点A：点 \( (0,0) \) 关于 \( D \) 的对称点 \( A \) 可以通过解析几何的方法求得，其坐标为 \( A(-x, -y) \)。
2. 计算一阶偏导数：求函数 \( f \) 在点 \( A \) 处的一阶偏导数，并令其等于零，找到驻点。
3. 计算二阶偏导数：计算函数 \( f \) 在驻点的一阶偏导数的二阶偏导数，应用Hessian矩阵的判定法来确定驻点的性质（极大值、极小值或鞍点）。
4. 验证极值：由于题目要求的是极值，需要验证在点 \( A \) 处的极值是否是全局极值。
通过上述步骤，考生需要运用扎实的数学基础和灵活的解题技巧来解答这个问题。
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