关键词：考研数学，每日一题，研哥
今日考研数学每日一题：已知函数$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$，求其在$x=1$处的左导数和右导数。
解答过程如下：
首先，计算函数在$x=1$处的导数：
$$f'(x) = \frac{(2x+1)'(x-1) - (2x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}.$$
由于导数是左导数和右导数的极限值，我们可以分别计算左导数和右导数。
左导数：
$$f'_-(1) = \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{\frac{2x+1}{x-1} - \frac{3}{2}}{x - 1} = \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{-\frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2}.$$
右导数：
$$f'_+(1) = \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{\frac{2x+1}{x-1} - \frac{3}{2}}{x - 1} = \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{-\frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)^2} = -\frac{1}{2}.$$
综上，函数$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$在$x=1$处的左导数为$\frac{1}{2}$，右导数为$-\frac{1}{2}$。
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