在探讨高等数学中值定理的考研题目时，以下是一道典型的考题：
题目：设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \( f(a) = f(b) \)。证明：存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
解题过程：
1. 由题意，函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，因此根据零点定理，至少存在一个 \( c \in (a, b) \) 使得 \( f(c) = 0 \)。
2. 定义函数 \( F(x) = f(x) - f(a) \)，则在区间 \([a, c]\) 上，\( F(x) \) 也是连续的，且 \( F(a) = 0 \)，\( F(c) = f(c) - f(a) = 0 \)。
3. 根据罗尔定理，存在 \( \eta \in (a, c) \) 使得 \( F'(\eta) = 0 \)。
4. 由于 \( F'(x) = f'(x) \)，所以 \( f'(\eta) = 0 \)。
5. 因此，存在 \( \xi = \eta \in (a, b) \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
这样，我们就完成了这个考研题目的解答。
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