在考研数学中，函数极限的定义题往往考验考生对极限概念的理解与应用。以下是一道典型的函数极限定义真题：
题目：已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$\lim_{x\to 1}f(x)$。
解题过程：
首先，我们注意到当$x$接近1时，分母$x-1$趋近于0，因此直接计算$f(1)$会得到一个“0/0”的不定形式。这时，我们需要运用极限的定义来解决。
根据极限的定义，对于任意正数$\epsilon$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0<|x-1|<\delta$时，有$|\frac{x^2-1}{x-1}-L|<\epsilon$，其中$L$是所求的极限值。
将$f(x)$化简为$f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$，可以消去分子和分母的$(x-1)$项，得到$f(x)=x+1$。
因此，我们需要证明$\lim_{x\to 1}(x+1)=L$。根据定义，我们需要找到一个$\delta$，使得当$0<|x-1|<\delta$时，$|x+1-L|<\epsilon$。
设$L=2$，则$|x+1-L|=|x+1-2|=|x-1|$。为了使得$|x-1|<\epsilon$，我们可以取$\delta=\epsilon$。
综上，我们证明了$\lim_{x\to 1}f(x)=2$。
【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题实时更新，助你高效备战考研。立即下载，开启你的考研刷题之旅！微信搜索“考研刷题通”，让刷题变得更简单、更高效！