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题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值。
解答：首先，求出$f(x)$的导数$f'(x)$，有$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。令$f'(x) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{2}{3}$。
接下来，分析$f'(x)$的符号变化。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$。
因此，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x = 1$是$f(x)$的极小值点。
计算极值：$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{22}{27}$，$f(1) = 3$。
所以，$f(x)$的极大值为$\frac{22}{27}$，极小值为$3$。
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